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Introdução ao circo matemático (por Martin Gardner)

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A veces estas reflexiones asombran todavía la noche conturbada o el reposo a mediodía. -T. S. Eliot
Los capítulos que componen este libro fueron antes publicados en la sección mensual, fija, Juegos Matemáticos de la revista Scientific American. Los matemáticos me preguntan a veces, qué significa para mí semejante titulo. No es fácil de explicar. Ya Ludwig Wingenstein utilizó la palabra «juego» para ejemplificar la noción de «palabras-familia», imposibles de definir unívocamente. La idea de «juego» conlleva muchos significados, enlazados entre sí un poco a la manera en que lo están los miembros de una familia humana, significados que han ido concatenándose al tiempo que evolucionaba el lenguaje. Podemos decir que los «juegos matemáticos» o las «matemáticas recreativas» son matemáticas -no importa de qué tipo- cargadas de un fuerte componente lúdico: pero poco aclaramos así, porque las ideas de «juego», «recreación» y «lúdico» son aproximadamente sinónimas. En último extremo nos encontramos con peticiones de principio, como al decir que la poesía es la obra de los poetas, o que la música de jazz es lo que los músicos de jazz componen o interpretan. Las matemáticas recreativas serían así la clase de matemáticas que hace disfrutar a los recreativistas.
Aunque no puedo definir los juegos matemáticos más rigurosamente que la poesía, sí mantengo que, sean lo que fueren, las matemáticas recreativas proporcionan el mejor camino para captar el interés de los jóvenes durante la enseñanza de la matemática elemental. Un buen rompecabezas matemático, una paradoja o un truco de apariencia mágica pueden excitar mucho más la imaginación de los niños que las aplicaciones «prácticas», sobre todo cuando estas aplicaciones se encuentran lejanas de las experiencias vividas por ellos. Y si el «juego» se elige y prepara con cuidado, puede llevarle casi insensiblemente hasta ideas matemáticas de importancia.
No sólo los niños, sino también los adultos pueden quedar arrobados por uno de estos rompecabezas sin utilidad previsible, y la historia de las matemáticas está llena de trabajos sobre tales rompecabezas -tanto de profesionales como de aficionados- que han conducido hasta inesperados desarrollos. En su libro Mathematics: Queen and Servant of Science, Eric Temple Bell cuenta que los primeros trabajos sobre clasificación y enumeración de nudos apenas fueron considerados otra cosa que curiosidades y rompecabezas. La teoría de nudos ha venido, con el tiempo, a convertirse en rama floreciente de la Topología:


"Así pues, los problemas de nudos resultaron ser mucho más que meros rompecabezas. Y es frecuente que esto suceda en matemáticas, en parte porque los matemáticos replantean -no sin cierta perversidad- difíciles problemas que confiaron (mas no supieron) resolver, dándoles la forma de acertijos y charadas de apariencia
trivial, pero en el fondo, con idéntica estructura que el problema original. Esta jugarreta ha hecho picar e interesarse a personas ajenas a las matemáticas, quienes, atemorizados ante la dificultad del problema, se habían inhibido o echado atrás. Y así, muchos aficionados han hecho a la matemática ricas aportaciones sin sospecharlo. Tenemos un ejemplo en el problema de los quince escolares (1850) de T. P. Kirkman, que frecuentemente presentan los libros de matemáticas recreativas."


Tampoco faltan rompecabezas matemáticos que -por ser en realidad triviales- no conducen a desarrollos interesantes. Empero, ambos tipos tienen algo en común, que nadie ha expresado mejor que el distinguido matemático Stanislaw Ulam en su autobiografía, Adventures of a Mathematician:

"Las matemáticas, con sus grandiosas panorámicas su apreciación de la belleza y su percepción de nuevas realidades, posee una propiedad adictiva que es menos evidente y saludable, afín en cierto modo a los efectos de algunas drogas. El más nimio problema, aún siendo inmediatamente reconocible como trivial o reiterativo, puede ejercer esta influencia adictiva. Una de las formas en que podemos vernos arrastrados es comenzar a resolverlos. Recuerdo que Mathematical Monthly publicaba de cuando en cuando unos problemas enviados por un matemático francés, relativos a ciertas configuraciones banales de circunferencias, rectas y triángulos del plano. «Belanglos» (sin importancia), como dicen los alemanes; empero, con estas figuritas corríase el riesgo de quedar atrapado tan pronto se comenzaba a resolverlas, a pesar de saber perfectamente que no podrían conducirnos a campos nuevos, más generales ni más estimulantes. Mucho contrasta esto con cuanto he dicho acerca de la historia del teorema de Fermat, que ha suscitado la creación de nuevas y vastas concepciones algebraicas. La diferencia tal vez resida en que para resolver un pequeño problema puede bastar un esfuerzo moderado, mientras que el teorema de Fermat sigue sin estar resuelto, desafiando al mundo matemático. No obstante, ambos tipos de curiosidades matemáticas tienen una fuerte componente adictiva para el matemático en potencia, cualidad que existe a todos los niveles de la matemática, desde las bagatelas a los aspectos más inspirados."


Martin Gardner
Marzo de 1979

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La Loteria en Babilonia

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Mais um dos contos espetaculares de Jorge Luis Borges

Jorge Luis Borges (Ficciones - 1944)

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Como todos los hombres de Babilonia, he sido procónsul; como todos, esclavo; también he conocido la omnipotencia, el oprobio, las cárceles. Miren: a mi mano derecha le falta el índice. Miren: por este desgarrón de la capa se ve en mi estómago un tatuaje bermejo: es el segundo símbolo, Beth. Esta letra, en las noches de luna llena, me confiere poder sobre los hombres cuya marca es Ghimel, pero me subordina a los de Aleph, que en las noches sin luna deben obediencia a los Ghimel. En el crepúsculo del alba, en un sótano, he yugulado ante una piedra negra toros sagrados. Durante un año de la luna, he sido declarado invisible: gritaba y no me respondían, robaba el pan y no me decapitaban. He conocido lo que ignoran los griegos: la incertidumbre. En una cámara de bronce, ante el pañuelo silencioso del estrangulador, la esperanza me ha sido fiel; en el río de los deleites, el pánico. Heráclides Póntico refiere con admiración que Pitágoras recordaba haber sido Pirro y antes Euforbo y antes algún otro mortal; para recordar vicisitudes análogas yo no preciso recurrir a la muerte ni aun a la impostura.

Debo esa variedad casi atroz a una institución que otras repúblicas ignoran o que obra en ellas de modo imperfecto y secreto: la lotería. No he indagado su historia; sé que los magos no logran ponerse de acuerdo; sé de sus poderosos propósitos lo que puede saber de la luna el hombre no versado en astrología. Soy de un país vertiginoso donde la lotería es parte principal de la realidad: hasta el día de hoy, he pensado tan poco en ella como en la conducta de los dioses indescifrables o de mi corazón. Ahora, lejos de Babilonia y de sus queridas costumbres, pienso con algún asombro en la lotería y en las conjeturas blasfemas que en el crepúsculo murmuran los hombres velados.

Mi padre refería que antiguamente -¿cuestión de siglos, de años?- la lotería en Babilonia era un juego de carácter plebeyo. Refería (ignoro si con verdad) que los barberos despachaban por monedas de cobre rectángulos de hueso o de pergamino adornados de símbolos. En pleno día se verificaba un sorteo: los agraciados recibían, sin otra corroboración del azar, monedas acuñadas de plata. El procedimiento era elemental, como ven ustedes.

Naturalmente, esas "loterías" fracasaron. Su virtud moral era nula. No se dirigían a todas las facultades del hombre: únicamente a su esperanza. Ante la indiferencia pública, los mercaderes que fundaron esas loterías venales comenzaron a perder el dinero. Alguien ensayó una reforma: la interpolación de unas pocas suertes adversas en el censo de números favorables. Mediante esa reforma, los compradores de rectángulos numerados corrían el doble albur de ganar una suma y de pagar una multa a veces cuantiosa. Ese leve peligro (por cada treinta números favorables había un número aciago) despertó, como es natural, el interés del público. Los babilonios se entregaron al juego. El que no adquiría suertes era considerado un pusilánime, un apocado. Con el tiempo, ese desdén justificado se duplicó. Era despreciado el que no jugaba, pero también eran despreciados los perdedores que abonaban la multa. La Compañía (así empezó a llamársela entonces) tuvo que velar por los ganadores, que no podían cobrar los premios si faltaba en las cajas el importe casi total de las multas. Entabló una demanda a los perdedores: el juez los condenó a pagar la multa original y las costas o a unos días de cárcel. Todos optaron por la cárcel, para defraudar a la Compañía. De esa bravata de unos pocos nace el todopoder de la Compañía: su valor eclesiástico, metafísico.

Poco después, los informes de los sorteos omitieron las enumeraciones de multas y se limitaron a publicar los días de prisión que designaba cada número adverso. Ese laconismo, casi inadvertido en su tiempo, fue de importancia capital. Fue la primara aparición en la lotería de elementos no pecuniarios. El éxito fue grande. Instada por los jugadores, la Compañía se vio precisada a aumentar los números adversos.

Nadie ignora que el pueblo de Babilonia es muy devoto de la lógica, y aun de la simetría. Era incoherente que los números faustos se computaran en redondas monedas y los infaustos en días y noches de cárcel. Algunos moralistas razonaron que la posesión de monedas no siempre determina la felicidad y que otras formas de la dicha son quizá más directas.

Otra inquietud cundía en los barrios bajos. Los miembros del colegio sacerdotal multiplicaban las puestas y gozaban de todas las vicisitudes del terror y de la esperanza; los pobres (con envidia razonable o inevitable) se sabían excluidos de ese vaivén, notoriamente delicioso. El justo anhelo de que todos, pobres y ricos, participasen por igual en la lotería, inspiró una indignada agitación, cuya memoria no han desdibujado los años. Algunos obstinados no comprendieron (o simularon no comprender) que se trataba de un orden nuevo, de una etapa histórica necesaria... Un esclavo robó un billete carmesí, que en el sorteo lo hizo acreedor a que le quemaran la lengua. El código fijaba esa misma pena para el que robaba un billete. Algunos babilonios argumentaban que merecía el hierro candente, en su calidad de ladrón; otros, magnánimos, que el verdugo debía aplicárselo porque así lo había determinado el azar... Hubo disturbios. hubo efusiones lamentables de sangre; pero la gente babilónica impuso finalmente su voluntad, contra la oposición de los ricos. El pueblo consiguió con plenitud sus fines generosos. En primer término, logró que la Compañía aceptara la suma del poder público. (Esa unificación era necesaria, dada la vastedad y complejidad de las nuevas operaciones.) En segundo término, logró que la lotería fuera secreta, gratuita y general. Quedó abolida la venta mercenaria de suertes. Ya iniciado en los misterios de Bel todo hombre libre automáticamente participaba en los sorteos sagrados, que se efectuaban en los laberintos del dios cada sesenta noches y que determinaban su destino hasta el otro ejercicio. Las consecuencias eran incalculables. Una jugada feliz podía motivar su elevación al concilio de magos o la prisión de un enemigo (notorio o íntimo) o el encontrar, en la pacífica tiniebla del cuarto, la mujer que empieza a inquietarnos o que no esperábamos rever; una jugada adversa: la mutilación, la variada infamia, la muerte. A veces un solo hecho cl tabernario asesinato de C, la apoteosis misteriosa de B--era la solución genial de treinta o cuarenta sorteos. Combinar las jugadas era difícil; pero hay que recordar que los individuos de la Compañía eran (y son) todopoderosos y astutos. En muchos casos, el conocimiento de que ciertas felicidades eran simple fábrica del azar, hubiera aminorado su virtud; para eludir ese inconveniente, los agentes de la Compañía usaban de las sugestiones y de la magia. Sus pasos, sus manejos, eran secretos. Para indagar las íntimas esperanzas y los íntimos terrores de cada cual, disponían de astrólogos y de espías. Había ciertos leones de piedra, había una letrina sagrada llamada Qaphqa, había unas grietas en un polvoriento acueducto que, según opinión general, daban a la Compañía; las personas malignas o benévolas depositaban delaciones en esos sitios. Un archivo alfabético recogía esas noticias de variable veracidad.

Increíblemente, no faltaron murmuraciones. La Compañía, con su discreción habitual, no replicó directamente. Prefirió borrajear en los escombros de una fábrica de caretas un argumento breve, que ahora figura en las escrituras sagradas. Esa pieza doctrinal observaba que la lotería es una interpolación del azar en el orden del mundo y que aceptar errores no es contradecir el azar: es corroborarlo. Observaba asimismo que esos leones y ese recipiente sagrado, aunque no desautorizados por la Compañía (que no renunciaba al derecho de consultarlos), funcionaban sin garantía oficial.

Esa declaración apaciguó las inquietudes públicas. También produjo otros efectos, acaso no previstos por el autor. Modificó hondamente el espíritu y las operaciones de la Compañía. Poco tiempo me queda; nos avisan que la nave está por zarpar; pero trataré de explicarlo.

Por inverosímil que sea, nadie había ensayado hasta entonces una teoría general de los juegos. El babilonio no es especulativo. Acata los dictámenes del azar, les entrega su vida, su esperanza, su terror pánico, pero no se le ocurre investigar sus leyes laberínticas, ni las esferas giratorias que lo revelan. Sin embargo, la declaración oficiosa que he mencionado inspiró muchas discusiones de carácter jurídico-matemático. De alguna de ellas nació la conjetura siguiente: Si la lotería es una intensificación del azar, una periódica infusión del caos en el cosmos ¿no convendría que el azar interviniera en todas las etapas del sorteo y no en una sola? ¿No es irrisorio que el azar dicte la muerte de alguien y que las circunstancias de esa muerte la reserva, la publicidad, el plazo de una hora o de un siglo--no estén sujetas al azar? Esos escrúpulos tan justos provocaron al fin una considerable reforma, cuyas complejidades (agravadas por un ejercicio de siglos) no entienden sino algunos especialistas, pero que intentaré resumir, siquiera de modo simbólico.

Imaginemos un primer sorteo, que dicta la muerte de un hombre. Para su cumplimiento se procede a un otro sorteo, que propone (digamos) nueve ejecutores posibles. De esos ejecutores, cuatro pueden iniciar un tercer sorteo que dirá el nombre del verdugo, dos pueden reemplazar la orden adversa por una orden feliz (el encuentro de un tesoro, digamos), otro exacerbará la muerte (es decir la hará infame o la enriquecerá de torturas), otros pueden negarse a cumplirla... Tal es el esquema simbólico. En la realidad el número de sorteos es infinito. Ninguna decisión es final, todas se ramifican en otras. Los ignorantes suponen que infinitos sorteos requieren un tiempo infinito; en realidad basta que el tiempo sea infinitamente subdivisible, como lo enseña la famosa parábola del Certamen con la Tortuga. Esa infinitud condice de admirable manera con los sinuosos números del Azar y con el Arquetipo Celestial de la Lotería, que adoran los platónicos... Algún eco deforme de nuestros ritos parece haber retumbado en el Tíber: Elio Lampridio, en la Vida de Antonino Heliogábalo, refiere que este emperador escribía en conchas las suertes que destinaba a los convidados, de manera que uno recibía diez libras de oro y otro diez moscas, diez lirones, diez osos. Es lícito recordar que Heliogábalo se educó en el Asia Menor, entre los sacerdotes del dios epónimo.

También hay sorteos impersonales, de propósito indefinido: uno decreta que se arroje a las aguas del Éufrates un zafiro de Taprobana; otro, que desde el techo de una torre se suelte un pájaro; otro, que cada siglo se retire (o se añada) un grano de arena de los innumerables que hay en la playa. Las consecuencias son, a veces, terribles.

Bajo el influjo bienhechor de la Compañía, nuestras costumbres están saturadas de azar. El comprador de una docena de ánforas de vino damasceno no se maravillará si una de ellas encierra un talismán o una víbora; el escribano que redacta un contrato no deja casi nunca de introducir algún dato erróneo; yo mismo, en esta apresurada declaración, he falseado algún esplendor, alguna atrocidad. Quizá, también, alguna misteriosa monotonía... Nuestros historiadores, que son los más perspicaces del orbe, han inventado un método para corregir el azar; es fama que las operaciones de ese método son (en general) fidedignas; aunque, naturalmente, no se divulgan sin alguna dosis de engaño. Por lo demás, nada tan contaminado de ficción como la historia de la Compañía... Un documento paleográfico, exhumado en un templo, puede ser obra del sorteo de ayer o de un sorteo secular. No se publica un libro sin alguna divergencia entre cada uno de los ejemplares. Los escribas prestan juramento secreto de omitir, de interpolar, de variar. También se ejerce la mentira indirecta.

La Compañía, con modestia divina, elude toda publicidad. Sus agentes, como es natural, son secretos; las órdenes que imparte continuamente (quizá incesantemente) no difieren de las que prodigan los impostores. Además ¿quién podrá jactarse de ser un mero impostor? El ebrio que improvisa un mandato absurdo, el soñador que se despierta de golpe y ahoga con las manos a la mujer que duerme a su lado ¿no ejecutan, acaso, una secreta decisión de la Compañía? Ese funcionamiento silencioso, comparable al de Dios, provoca toda suerte de conjeturas. Alguna abominablemente insinúa que hace ya siglos que no existe la Compañía y que el sacro desorden de nuestras vidas es puramente hereditario, tradicional; otra la juzga eterna y enseña que perdurará hasta la última noche, cuando el último dios anonade el mundo. Otra declara que la Compañía es omnipotente, pero que sólo influye en cosas minúsculas: en el grito de un pájaro, en los matices de la herrumbre y del polvo, en los entresueños del alba. Otra, por boca de heresiarcas enmascarados, que no ha existido nunca y no existirá. Otra, no menos vil, razona que es indiferente afirmar o negar la realidad de la tenebrosa corporación, porque Babilonia no es otra cosa que un infinito juego de azares.

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Algumas de minhas composições em midi

Study for fugue (estudo para fuga): A foto do velhinho simpático é do Jaakko Hintikka e está em sua página pessoal pela Universidade de Boston. Abaixo video do youtube com o estudo para Fuga.



Expedito Fantasiaé uma composição minha para piano (veja abaixo o video youtube)



Vídeos de Vitor Araujo (grande pianista e arranjador)

Asa Branca: Em algumas passagens notei a influência necessária e genial de Vila Lobos. Necessária, pois é inconcebível não existir a mistura entre a musicalidade destes dois nomes da música brasileira. Há também, elementos de jazz neste arranjo. Luiz Gonzaga por si só já possuía algo jazz e blues em suas músicas (principalmente em Baião). Acentuar tais características faz com que a sua composição seja ainda mais enaltecida.




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Algumas de minhas composições em midi

Study for fugue (estudo para fuga)

http://www.youtube.com/watch?v=WTPZFMO-yjI

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El Aleph

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Postarei abaixo um belo conto do Genial Jorge Luis Borges. O texto está no original, ou seja, em espanhol. (Samir Gorsky)

[Cuento. Texto completo]
Jorge Luis Borges

O God, I could be bounded in a nutshell
and count myself a King of infinite space.

Hamlet, II, 2


But they will teach us that Eternity is the Standing still of the Present Time, a Nunc-stans (ast the Schools call it); which neither they, nor any else understand, no more than they would a Hic-stans for an Infinite greatnesse of Place.

Leviathan, IV, 46

La candente mañana de febrero en que Beatriz Viterbo murió, después de una imperiosa agonía que no se rebajó un solo instante ni al sentimentalismo ni al miedo, noté que las carteleras de fierro de la Plaza Constitución habían renovado no sé qué aviso de cigarrillos rubios; el hecho me dolió, pues comprendí que el incesante y vasto universo ya se apartaba de ella y que ese cambio era el primero de una serie infinita. Cambiará el universo pero yo no, pensé con melancólica vanidad; alguna vez, lo sé, mi vana devoción la había exasperado; muerta yo podía consagrarme a su memoria, sin esperanza, pero también sin humillación. Consideré que el treinta de abril era su cumpleaños; visitar ese día la casa de la calle Garay para saludar a su padre y a Carlos Argentino Daneri, su primo hermano, era un acto cortés, irreprochable, tal vez ineludible. De nuevo aguardaría en el crepúsculo de la abarrotada salita, de nuevo estudiaría las circunstancias de sus muchos retratos. Beatriz Viterbo, de perfil, en colores; Beatriz, con antifaz, en los carnavales de 1921; la primera comunión de Beatriz; Beatriz, el día de su boda con Roberto Alessandri; Beatriz, poco después del divorcio, en un almuerzo del Club Hípico; Beatriz, en Quilmes, con Delia San Marco Porcel y Carlos Argentino; Beatriz, con el pekinés que le regaló Villegas Haedo; Beatriz, de frente y de tres cuartos, sonriendo, la mano en el mentón... No estaría obligado, como otras veces, a justificar mi presencia con módicas ofrendas de libros: libros cuyas páginas, finalmente, aprendí a cortar, para no comprobar, meses después, que estaban intactos.

Beatriz Viterbo murió en 1929; desde entonces, no dejé pasar un treinta de abril sin volver a su casa. Yo solía llegar a las siete y cuarto y quedarme unos veinticinco minutos; cada año aparecía un poco más tarde y me quedaba un rato más; en 1933, una lluvia torrencial me favoreció: tuvieron que invitarme a comer. No desperdicié, como es natural, ese buen precedente; en 1934, aparecí, ya dadas las ocho, con un alfajor santafecino; con toda naturalidad me quedé a comer. Así, en aniversarios melancólicos y vanamente eróticos, recibí las graduales confidencias de Carlos Argentino Daneri.

Beatriz era alta, frágil, muy ligeramente inclinada; había en su andar (si el oxímoron* es tolerable) una como graciosa torpeza, un principio de éxtasis; Carlos Argentino es rosado, considerable, canoso, de rasgos finos. Ejerce no sé qué cargo subalterno en una biblioteca ilegible de los arrabales del Sur; es autoritario, pero también es ineficaz; aprovechaba, hasta hace muy poco, las noches y las fiestas para no salir de su casa. A dos generaciones de distancia, la ese italiana y la copiosa gesticulación italiana sobreviven en él. Su actividad mental es continua, apasionada, versátil y del todo insignificante. Abunda en inservibles analogías y en ociosos escrúpulos. Tiene (como Beatriz) grandes y afiladas manos hermosas. Durante algunos meses padeció la obsesión de Paul Fort, menos por sus baladas que por la idea de una gloria intachable. "Es el Príncipe de los poetas de Francia", repetía con fatuidad. "En vano te revolverás contra él; no lo alcanzará, no, la más inficionada de tus saetas."

El treinta de abril de 1941 me permití agregar al alfajor una botella de coñac del país. Carlos Argentino lo probó, lo juzgó interesante y emprendió, al cabo de unas copas, una vindicación del hombre moderno.

-Lo evoco -dijo con una animación algo inexplicable- en su gabinete de estudio, como si dijéramos en la torre albarrana de una ciudad, provisto de teléfonos, de telégrafos, de fonógrafos, de aparatos de radiotelefonía, de cinematógrafos, de linternas mágicas, de glosarios, de horarios, de prontuarios, de boletines...

Observó que para un hombre así facultado el acto de viajar era inútil; nuestro siglo XX había transformado la fábula de Mahoma y de la montaña; las montañas, ahora, convergían sobre el moderno Mahoma.

Tan ineptas me parecieron esas ideas, tan pomposa y tan vasta su exposición, que las relacioné inmediatamente con la literatura; le dije que por qué no las escribía. Previsiblemente respondió que ya lo había hecho: esos conceptos, y otros no menos novedosos, figuraban en el Canto Augural, Canto Prologal o simplemente Canto-Prólogo de un poema en el que trabajaba hacía muchos años, sin réclame, sin bullanga ensordecedora, siempre apoyado en esos dos báculos que se llaman el trabajo y la soledad. Primero, abría las compuertas a la imaginación; luego, hacía uso de la lima. El poema se titulaba La Tierra; tratábase de una descripción del planeta, en la que no faltaban, por cierto, la pintoresca digresión y el gallardo apóstrofe**.

Le rogué que me leyera un pasaje, aunque fuera breve. Abrió un cajón del escritorio, sacó un alto legajo de hojas de block estampadas con el membrete de la Biblioteca Juan Crisóstomo Lafinur y leyó con sonora satisfacción:

He visto, como el griego, las urbes de los hombres,
los trabajos, los días de varia luz, el hambre;
no corrijo los hechos, no falseo los nombres,
pero el voyage que narro, es... autour de ma chambre.

-Estrofa a todas luces interesante -dictaminó-. El primer verso granjea el aplauso del catedrático, del académico, del helenista, cuando no de los eruditos a la violeta, sector considerable de la opinión; el segundo pasa de Homero a Hesíodo (todo un implícito homenaje, en el frontis del flamante edificio, al padre de la poesía didáctica), no sin remozar un procedimiento cuyo abolengo está en la Escritura, la enumeración, congerie o conglobación; el tercero -¿barroquismo, decadentismo; culto depurado y fanático de la forma?- consta de dos hemistiquios gemelos; el cuarto, francamente bilingüe, me asegura el apoyo incondicional de todo espíritu sensible a los desenfadados envites de la facecia. Nada diré de la rima rara ni de la ilustración que me permite, ¡sin pedantismo!, acumular en cuatro versos tres alusiones eruditas que abarcan treinta siglos de apretada literatura: la primera a la Odisea, la segunda a los Trabajos y días, la tercera a la bagatela inmortal que nos depararan los ocios de la pluma del saboyano... Comprendo una vez más que el arte moderno exige el bálsamo de la risa, el scherzo. ¡Decididamente, tiene la palabra Goldoni!

Otras muchas estrofas me leyó que también obtuvieron su aprobación y su comentario profuso. Nada memorable había en ellas; ni siquiera las juzgué mucho peores que la anterior. En su escritura habían colaborado la aplicación, la resignación y el azar; las virtudes que Daneri les atribuía eran posteriores. Comprendí que el trabajo del poeta no estaba en la poesía; estaba en la invención de razones para que la poesía fuera admirable; naturalmente, ese ulterior trabajo modificaba la obra para él, pero no para otros. La dicción oral de Daneri era extravagante; su torpeza métrica le vedó, salvo contadas veces, trasmitir esa extravagancia al poema1.

Una sola vez en mi vida he tenido ocasión de examinar los quince mil dodecasílabos del Polyolbion, esa epopeya topográfica en la que Michael Drayton registró la fauna, la flora, la hidrografía, la orografía, la historia militar y monástica de Inglaterra; estoy seguro de que ese producto considerable, pero limitado, es menos tedioso que la vasta empresa congénere de Carlos Argentino. Éste se proponía versificar toda la redondez del planeta; en 1941 ya había despachado unas hectáreas del estado de Queensland, más de un kilómetro del curso del Ob, un gasómetro al norte de Veracruz, las principales casas de comercio de la parroquia de la Concepción, la quinta de Mariana Cambaceres de Alvear en la calle Once de Septiembre, en Belgrano, y un establecimiento de baños turcos no lejos del acreditado acuario de Brighton. Me leyó ciertos laboriosos pasajes de la zona australiana de su poema; esos largos e informes alejandrinos carecían de la relativa agitación del prefacio. Copio una estrofa:

Sepan. A manderecha del poste rutinario
(viniendo, claro está, desde el Nornoroeste)
se aburre una osamenta -¿Color? Blanquiceleste-
que da al corral de ovejas catadura de osario.

-Dos audacias -gritó con exultación-, rescatadas, te oigo mascullar, por el éxito. Lo admito, lo admito. Una, el epíteto rutinario, que certeramente denuncia, en passant, el inevitable tedio inherente a las faenas pastoriles y agrícolas, tedio que ni las geórgicas ni nuestro ya laureado Don Segundo se atrevieron jamás a denunciar así, al rojo vivo. Otra, el enérgico prosaísmo se aburre una osamenta, que el melindroso querrá excomulgar con horror pero que apreciará más que su vida el crítico de gusto viril. Todo el verso, por lo demás, es de muy subidos quilates. El segundo hemistiquio entabla animadísima charla con el lector; se adelanta a su viva curiosidad, le pone una pregunta en la boca y la satisface... al instante. ¿Y qué me dices de ese hallazgo, blanquiceleste? El pintoresco neologismo sugiere el cielo, que es un factor importantísimo del paisaje australiano. Sin esa evocación resultarían demasiado sombrías las tintas del boceto y el lector se vería compelido a cerrar el volumen, herida en lo más íntimo el alma de incurable y negra melancolía.

Hacia la medianoche me despedí.

Dos domingos después, Daneri me llamó por teléfono, entiendo que por primera vez en la vida. Me propuso que nos reuniéramos a las cuatro, "para tomar juntos la leche, en el contiguo salón-bar que el progresismo de Zunino y de Zungri -los propietarios de mi casa, recordarás- inaugura en la esquina; confitería que te importará conocer". Acepté, con más resignación que entusiasmo. Nos fue difícil encontrar mesa; el "salón-bar", inexorablemente moderno, era apenas un poco menos atroz que mis previsiones; en las mesas vecinas, el excitado público mencionaba las sumas invertidas sin regatear por Zunino y por Zungri. Carlos Argentino fingió asombrarse de no sé qué primores de la instalación de la luz (que, sin duda, ya conocía) y me dijo con cierta severidad:

-Mal de tu grado habrás de reconocer que este local se parangona con los más encopetados de Flores.

Me releyó, después, cuatro o cinco páginas del poema. Las había corregido según un depravado principio de ostentación verbal: donde antes escribió azulado, ahora abundaba en azulino, azulenco y hasta azulillo. La palabra lechoso no era bastante fea para él; en la impetuosa descripción de un lavadero de lanas, prefería lactario, lacticinoso, lactescente, lechal... Denostó con amargura a los críticos; luego, más benigno, los equiparó a esas personas, "que no disponen de metales preciosos ni tampoco de prensas de vapor, laminadores y ácidos sulfúricos para la acuñación de tesoros, pero que pueden indicar a los otros el sitio de un tesoro". Acto continuo censuró la prologomanía, "de la que ya hizo mofa, en la donosa prefación del Quijote, el Príncipe de los Ingenios". Admitió, sin embargo, que en la portada de la nueva obra convenía el prólogo vistoso, el espaldarazo firmado por el plumífero de garra, de fuste. Agregó que pensaba publicar los cantos iniciales de su poema. Comprendí, entonces, la singular invitación telefónica; el hombre iba a pedirme que prologara su pedantesco fárrago. Mi temor resultó infundado: Carlos Argentino observó, con admiración rencorosa, que no creía errar en el epíteto al calificar de sólido el prestigio logrado en todos los círculos por Álvaro Melián Lafinur, hombre de letras, que, si yo me empeñaba, prologaría con embeleso el poema. Para evitar el más imperdonable de los fracasos, yo tenía que hacerme portavoz de dos méritos inconcusos: la perfección formal y el rigor científico, "porque ese dilatado jardín de tropos, de figuras, de galanuras, no tolera un solo detalle que no confirme la severa verdad". Agregó que Beatriz siempre se había distraído con Álvaro.

Asentí, profusamente asentí. Aclaré, para mayor verosimilitud, que no hablaría el lunes con Álvaro, sino el jueves: en la pequeña cena que suele coronar toda reunión del Club de Escritores. (No hay tales cenas, pero es irrefutable que las reuniones tienen lugar los jueves, hecho que Carlos Argentino Daneri podía comprobar en los diarios y que dotaba de cierta realidad a la frase.) Dije, entre adivinatorio y sagaz, que antes de abordar el tema del prólogo, describiría el curioso plan de la obra. Nos despedimos; al doblar por Bernardo de Irigoyen, encaré con toda imparcialidad los porvenires que me quedaban: a) hablar con Álvaro y decirle que el primo hermano aquel de Beatriz (ese eufemismo explicativo me permitiría nombrarla) había elaborado un poema que parecía dilatar hasta lo infinito las posibilidades de la cacofonía y del caos; b) no hablar con Álvaro. Preví, lúcidamente, que mi desidia optaría por b.

A partir del viernes a primera hora, empezó a inquietarme el teléfono. Me indignaba que ese instrumento, que algún día produjo la irrecuperable voz de Beatriz, pudiera rebajarse a receptáculo de las inútiles y quizá coléricas quejas de ese engañado Carlos Argentino Daneri. Felizmente, nada ocurrió -salvo el rencor inevitable que me inspiró aquel hombre que me había impuesto una delicada gestión y luego me olvidaba.

El teléfono perdió sus terrores, pero a fines de octubre, Carlos Argentino me habló. Estaba agitadísimo; no identifiqué su voz, al principio. Con tristeza y con ira balbuceó que esos ya ilimitados Zunino y Zungri, so pretexto de ampliar su desaforada confitería, iban a demoler su casa.

-¡La casa de mis padres, mi casa, la vieja casa inveterada de la calle Garay! -repitió, quizá olvidando su pesar en la melodía.

No me resultó muy difícil compartir su congoja. Ya cumplidos los cuarenta años, todo cambio es un símbolo detestable del pasaje del tiempo; además, se trataba de una casa que, para mí, aludía infinitamente a Beatriz. Quise aclarar ese delicadísimo rasgo; mi interlocutor no me oyó. Dijo que si Zunino y Zungri persistían en ese propósito absurdo, el doctor Zunni, su abogado, los demandaría ipso facto por daños y perjuicios y los obligaría a abonar cien mil nacionales.

El nombre de Zunni me impresionó; su bufete, en Caseros y Tacuarí, es de una seriedad proverbial. Interrogué si éste se había encargado ya del asunto. Daneri dijo que le hablaría esa misma tarde. Vaciló y con esa voz llana, impersonal, a que solemos recurrir para confiar algo muy íntimo, dijo que para terminar el poema le era indispensable la casa, pues en un ángulo del sótano había un Aleph. Aclaró que un Aleph es uno de los puntos del espacio que contienen todos los puntos.

-Está en el sótano del comedor -explicó, aligerada su dicción por la angustia-. Es mío, es mío: yo lo descubrí en la niñez, antes de la edad escolar. La escalera del sótano es empinada, mis tíos me tenían prohibido el descenso, pero alguien dijo que había un mundo en el sótano. Se refería, lo supe después, a un baúl, pero yo entendí que había un mundo. Bajé secretamente, rodé por la escalera vedada, caí. Al abrir los ojos, vi el Aleph.

-¿El Aleph? -repetí.

-Sí, el lugar donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos. A nadie revelé mi descubrimiento, pero volví. ¡El niño no podía comprender que le fuera deparado ese privilegio para que el hombre burilara el poema! No me despojarán Zunino y Zungri, no y mil veces no. Código en mano, el doctor Zunni probará que es inajenable mi Aleph.

Traté de razonar.

-Pero, ¿no es muy oscuro el sótano?

-La verdad no penetra en un entendimiento rebelde. Si todos los lugares de la tierra están en el Aleph, ahí estarán todas las luminarias, todas las lámparas, todos los veneros de luz.

-Iré a verlo inmediatamente.

Corté, antes de que pudiera emitir una prohibición. Basta el conocimiento de un hecho para percibir en el acto una serie de rasgos confirmatorios, antes insospechados; me asombró no haber comprendido hasta ese momento que Carlos Argentino era un loco. Todos esos Viterbo, por lo demás... Beatriz (yo mismo suelo repetirlo) era una mujer, una niña de una clarividencia casi implacable, pero había en ella negligencias, distracciones, desdenes, verdaderas crueldades, que tal vez reclamaban una explicación patológica. La locura de Carlos Argentino me colmó de maligna felicidad; íntimamente, siempre nos habíamos detestado.

En la calle Garay, la sirvienta me dijo que tuviera la bondad de esperar. El niño estaba, como siempre, en el sótano, revelando fotografías. Junto al jarrón sin una flor, en el piano inútil, sonreía (más intemporal que anacrónico) el gran retrato de Beatriz, en torpes colores. No podía vernos nadie; en una desesperación de ternura me aproximé al retrato y le dije:

-Beatriz, Beatriz Elena, Beatriz Elena Viterbo, Beatriz querida, Beatriz perdida para siempre, soy yo, soy Borges.

Carlos entró poco después. Habló con sequedad; comprendí que no era capaz de otro pensamiento que de la perdición del Aleph.

-Una copita del seudo coñac -ordenó- y te zampuzarás en el sótano. Ya sabes, el decúbito dorsal es indispensable. También lo son la oscuridad, la inmovilidad, cierta acomodación ocular. Te acuestas en el piso de baldosas y fijas los ojos en el decimonono escalón de la pertinente escalera. Me voy, bajo la trampa y te quedas solo. Algún roedor te mete miedo ¡fácil empresa! A los pocos minutos ves el Aleph. ¡El microcosmo de alquimistas y cabalistas, nuestro concreto amigo proverbial, el multum in parvo!

Ya en el comedor, agregó:

-Claro está que si no lo ves, tu incapacidad no invalida mi testimonio... Baja; muy en breve podrás entablar un diálogo con todas las imágenes de Beatriz.

Bajé con rapidez, harto de sus palabras insustanciales. El sótano, apenas más ancho que la escalera, tenía mucho de pozo. Con la mirada, busqué en vano el baúl de que Carlos Argentino me habló. Unos cajones con botellas y unas bolsas de lona entorpecían un ángulo. Carlos tomó una bolsa, la dobló y la acomodó en un sitio preciso.

-La almohada es humildosa -explicó-, pero si la levanto un solo centímetro, no verás ni una pizca y te quedas corrido y avergonzado. Repantiga en el suelo ese corpachón y cuenta diecinueve escalones.

Cumplí con sus ridículos requisitos; al fin se fue. Cerró cautelosamente la trampa; la oscuridad, pese a una hendija que después distinguí, pudo parecerme total. Súbitamente comprendí mi peligro: me había dejado soterrar por un loco, luego de tomar un veneno. Las bravatas de Carlos transparentaban el íntimo terror de que yo no viera el prodigio; Carlos, para defender su delirio, para no saber que estaba loco, tenía que matarme. Sentí un confuso malestar, que traté de atribuir a la rigidez, y no a la operación de un narcótico. Cerré los ojos, los abrí. Entonces vi el Aleph.

Arribo, ahora, al inefable centro de mi relato; empieza, aquí, mi desesperación de escritor. Todo lenguaje es un alfabeto de símbolos cuyo ejercicio presupone un pasado que los interlocutores comparten; ¿cómo transmitir a los otros el infinito Aleph, que mi temerosa memoria apenas abarca? Los místicos, en análogo trance, prodigan los emblemas: para significar la divinidad, un persa habla de un pájaro que de algún modo es todos los pájaros; Alanus de Insulis, de una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna; Ezequiel, de un ángel de cuatro caras que a un tiempo se dirige al Oriente y al Occidente, al Norte y al Sur. (No en vano rememoro esas inconcebibles analogías; alguna relación tienen con el Aleph.) Quizá los dioses no me negarían el hallazgo de una imagen equivalente, pero este informe quedaría contaminado de literatura, de falsedad. Por lo demás, el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito. En ese instante gigantesco, he visto millones de actos deleitables o atroces; ninguno me asombró como el hecho de que todos ocuparan el mismo punto, sin superposición y sin transparencia. Lo que vieron mis ojos fue simultáneo: lo que transcribiré, sucesivo, porque el lenguaje lo es. Algo, sin embargo, recogeré.

En la parte inferior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego comprendí que ese movimiento era una ilusión producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo. Vi el populoso mar, vi el alba y la tarde, vi las muchedumbres de América, vi una plateada telaraña en el centro de una negra pirámide, vi un laberinto roto (era Londres), vi interminables ojos inmediatos escrutándose en mí como en un espejo, vi todos los espejos del planeta y ninguno me reflejó, vi en un traspatio de la calle Soler las mismas baldosas que hace treinta años vi en el zaguán de una casa en Fray Bentos, vi racimos, nieve, tabaco, vetas de metal, vapor de agua, vi convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena, vi en Inverness a una mujer que no olvidaré, vi la violenta cabellera, el altivo cuerpo, vi un cáncer en el pecho, vi un círculo de tierra seca en una vereda, donde antes hubo un árbol, vi una quinta de Adrogué, un ejemplar de la primera versión inglesa de Plinio, la de Philemon Holland, vi a un tiempo cada letra de cada página (de chico, yo solía maravillarme de que las letras de un volumen cerrado no se mezclaran y perdieran en el decurso de la noche), vi la noche y el día contemporáneo, vi un poniente en Querétaro que parecía reflejar el color de una rosa en Bengala, vi mi dormitorio sin nadie, vi en un gabinete de Alkmaar un globo terráqueo entre dos espejos que lo multiplican sin fin, vi caballos de crin arremolinada, en una playa del Mar Caspio en el alba, vi la delicada osatura de una mano, vi a los sobrevivientes de una batalla, enviando tarjetas postales, vi en un escaparate de Mirzapur una baraja española, vi las sombras oblicuas de unos helechos en el suelo de un invernáculo, vi tigres, émbolos, bisontes, marejadas y ejércitos, vi todas las hormigas que hay en la tierra, vi un astrolabio persa, vi en un cajón del escritorio (y la letra me hizo temblar) cartas obscenas, increíbles, precisas, que Beatriz había dirigido a Carlos Argentino, vi un adorado monumento en la Chacarita, vi la reliquia atroz de lo que deliciosamente había sido Beatriz Viterbo, vi la circulación de mi oscura sangre, vi el engranaje del amor y la modificación de la muerte, vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, y en la tierra otra vez el Aleph y en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.

Sentí infinita veneración, infinita lástima.

-Tarumba habrás quedado de tanto curiosear donde no te llaman -dijo una voz aborrecida y jovial-. Aunque te devanes los sesos, no me pagarás en un siglo esta revelación. ¡Qué observatorio formidable, che Borges!

Los zapatos de Carlos Argentino ocupaban el escalón más alto. En la brusca penumbra, acerté a levantarme y a balbucear:

-Formidable. Sí, formidable.

La indiferencia de mi voz me extrañó. Ansioso, Carlos Argentino insistía:

-¿Lo viste todo bien, en colores?

En ese instante concebí mi venganza. Benévolo, manifiestamente apiadado, nervioso, evasivo, agradecí a Carlos Argentino Daneri la hospitalidad de su sótano y lo insté a aprovechar la demolición de la casa para alejarse de la perniciosa metrópoli, que a nadie ¡créame, que a nadie! perdona. Me negué, con suave energía, a discutir el Aleph; lo abracé, al despedirme, y le repetí que el campo y la serenidad son dos grandes médicos.

En la calle, en las escaleras de Constitución, en el subterráneo, me parecieron familiares todas las caras. Temí que no quedara una sola cosa capaz de sorprenderme, temí que no me abandonara jamás la impresión de volver. Felizmente, al cabo de unas noches de insomnio, me trabajó otra vez el olvido.



Posdata del primero de marzo de 1943. A los seis meses de la demolición del inmueble de la calle Garay, la Editorial Procusto no se dejó arredrar por la longitud del considerable poema y lanzó al mercado una selección de "trozos argentinos". Huelga repetir lo ocurrido; Carlos Argentino Daneri recibió el Segundo Premio Nacional de Literatura2. El primero fue otorgado al doctor Aita; el tercero, al doctor Mario Bonfanti; increíblemente, mi obra Los naipes del tahúr no logró un solo voto. ¡Una vez más, triunfaron la incomprensión y la envidia! Hace ya mucho tiempo que no consigo ver a Daneri; los diarios dicen que pronto nos dará otro volumen. Su afortunada pluma (no entorpecida ya por el Aleph) se ha consagrado a versificar los epítomes del doctor Acevedo Díaz.

Dos observaciones quiero agregar: una, sobre la naturaleza del Aleph; otra, sobre su nombre. Éste, como es sabido, es el de la primera letra del alfabeto de la lengua sagrada. Su aplicación al disco de mi historia no parece casual. Para la Cábala, esa letra significa el En Soph, la ilimitada y pura divinidad; también se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes. Yo querría saber: ¿Eligió Carlos Argentino ese nombre, o lo leyó, aplicado a otro punto donde convergen todos los puntos, en alguno de los textos innumerables que el Aleph de su casa le reveló? Por increíble que parezca, yo creo que hay (o que hubo) otro Aleph, yo creo que el Aleph de la calle Garay era un falso Aleph.

Doy mis razones. Hacia 1867 el capitán Burton ejerció en el Brasil el cargo de cónsul británico; en julio de 1942 Pedro Henríquez Ureña descubrió en una biblioteca de Santos un manuscrito suyo que versaba sobre el espejo que atribuye el Oriente a Iskandar Zú al-Karnayn, o Alejandro Bicorne de Macedonia. En su cristal se reflejaba el universo entero. Burton menciona otros artificios congéneres -la séptuple copa de Kai Josrú, el espejo que Tárik Benzeyad encontró en una torre (1001 Noches, 272), el espejo que Luciano de Samosata pudo examinar en la luna (Historia verdadera, I, 26), la lanza especular que el primer libro del Satyricon de Capella atribuye a Júpiter, el espejo universal de Merlin, "redondo y hueco y semejante a un mundo de vidrio" (The Faerie Queene, III, 2, 19)-, y añade estas curiosas palabras: "Pero los anteriores (además del defecto de no existir) son meros instrumentos de óptica. Los fieles que concurren a la mezquita de Amr, en el Cairo, saben muy bien que el universo está en el interior de una de las columnas de piedra que rodean el patio central... Nadie, claro está, puede verlo, pero quienes acercan el oído a la superficie, declaran percibir, al poco tiempo, su atareado rumor... La mezquita data del siglo VII; las columnas proceden de otros templos de religiones anteislámicas, pues como ha escrito Abenjaldún: En las repúblicas fundadas por nómadas es indispensable el concurso de forasteros para todo lo que sea albañilería".

¿Existe ese Aleph en lo íntimo de una piedra? ¿Lo he visto cuando vi todas las cosas y lo he olvidado? Nuestra mente es porosa para el olvido; yo mismo estoy falseando y perdiendo, bajo la trágica erosión de los años, los rasgos de Beatriz.

A Estela Canto



1. Recuerdo, sin embargo, estas líneas de una sátira que fustigó con rigor a los malos poetas:
Aqueste da al poema belicosa armadura
De erudicción; estotro le da pompas y galas.
Ambos baten en vano las ridículas alas...
¡Olvidaron, cuidados, el factor HERMOSURA!

Sólo el temor de crearse un ejército de enemigos implacables y poderosos lo disuadió (me dijo) de publicar sin miedo el poema.

2. "Recibí tu apenada congratulación", me escribió. "Bufas, mi lamentable amigo, de envidia, pero confesarás -¡aunque te ahogue!- que esta vez pude coronar mi bonete con la más roja de las plumas; mi turbante, con el más califa de los rubíes."

FIN DE "EL ALEPH"

* Oxímoron: Combinación en una misma estructura sintáctica de dos palabras o expresiones de significado opuesto, que originan un nuevo sentido. Ejemplo: "un silencio atronador".
** Apóstrofe: Figura que consiste en dirigir la palabra con vehemencia en segunda persona a una o varias, presentes o ausentes, vivas o muertas, a seres abstractos o a cosas inanimadas, o en dirigírsela a sí mismo en iguales términos.

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Para Humpt Vivacqua

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Por Samir Gorsky


As pessoas entram em orbita em torno de suas vivências. Eis uma definição para a rotina. Assim os problemas são sempre os mesmos...aprende-se por um tempo para em seguida esquecer-se. O processo se repete quase sem alteração como a aspiral Hegeliana. Temos uma visão do infernos tal qual os gregos o pintava. O ciclo infinito e sem alterações (como a pedra que sempre rola montanha abaixo ou o passaro que diariamente come o fígado) Porém o divino e o infernal são polos diferentes de uma mesma configuração. Em ambos os casos temos o cíclico que se aproxima do estático. A diferença entre o paraíso e o inferno é a diferença do conteúdo do ciclo. O ciclo vicioso é o inferno e o ciclo virtuoso é o paraíso. Neste ponto existe uma junção entre as várias ideologias concorrentes: "pagãos e cristãos dão as mãos". Para Platão era digno dos deuses que eles andassem em círculos pois assim estariam de acordo com a sua perfeição. Dante Alighieri, pintou céu, inferno e purgatório com círculos e cantos simétricos. Salvador Dalí fez sua leitura do fato pintando 99 quadros para o texto do poeta (33 para cada parte do universo). Porém voltemos para o cotidiano. Aqui os problemas se repetem pois o que é aprendido também é esquecido. Se o ciclo for quebrado, então o progresso entra em marcha. Para que percebamos o movimento é necessário o aparentemente inalterado.

A lógica das questões ou lógica das perguntas

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Por Samir Gorsky


Quando pensamos a valoração para uma determinada sentença (proposicional por exemplo), estamos analisando uma pergunta endereçada ao sistema lógico, a saber: "A sentença P é verdadeira?" O mesmo acontece para deduções: "A dedução Gama é válida?". Por isso seria muito interessante que os sistemas lógicos fossem capazes de adaptar questões à sua sintaxe. Com este objetivo, necessitamos de uma Lógica de Questões, de Problemas ou de Perguntas.

Tal sentido é também dado pela programação lógica. Em termos gerais, a proposta da programação em lógica é a seguinte: um programa lógico é constituído por um conjunto de axiomas e por um conjunto de regras de inferência. De posse desse programa podemos fazer “perguntas” a ele. Essas “perguntas” na verdade são fórmulas as quais
desejamos saber se podem ser deduzidas (ou não) a partir dos axiomas e regras de inferência contidos no programa lógico.

Ao inserirmos no sistema lógico a possibilidade de construir perguntas e respostas estaremos possibilitando ao sistema acessar algo da meta-linguagem. O sistema lógico passa então a ter mais autonomia, em certo sentido.

Em outras palavras, as “perguntas” nada mais são do que fórmulas as quais desejamos saber se são teoremas na teoria formal fornecida pelo programa lógico. Essa teoria formal seria constituída pelos axiomas e regras de inferência do programa lógico. Dizemos que as “perguntas”, que na verdade são fórmulas, as quais submetemos ao programa lógico constituem a entrada do programa lógico. Dada uma entrada, dizemos que o processo de tentarmos demonstrar essa entrada a partir dos axiomas e regras de inferência do programa lógico é a execução do programa lógico. Esta noção se identifica com a noção de computação da máquina de Turing.

Paralelamente aos trabalhos de Robert Kowalski, Alain Colmerauer e seus colegas desenvolveram um programa que capturava a idéia do mecanismo de tentar provar as “perguntas” (fórmulas) a partir de um conjunto de axiomas e regras de inferência. Esse programa recebeu o nome PROLOG (do francês “PROgramation et LOGique”).

Referências

Jair Minoro Abe, Alexandre Scalzitti e João Inácio da Silva Filho. Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. Lillipress 2001.

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Trabalhos em filosofia e lógica

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GORSKY, Samir. A Semântica algébrica para as lógicas modais e seu interesse filosófico. Dissertação de mestrado. UNICAMP, 2008


GORSKY, Samir. Semântica Algébrica Para as Lógicas Modais. (Slides da apresentação no Symposium Internacional Principia - (09/08/2007) Florianópolis - SC)


GORSKY, Samir. Lógicas da Inconsistência Formal - Introdução (Slides da apresentação na disciplina Lógicas Não-clássicas (10/04/2007) UNICAMP - Campinas - SP)


GORSKY, Samir. Alguns sistemas multimodais alético-temporais (Slides da apresentação na ANPOF (26/10/2006) Salvador - BA)


GORSKY, Samir. Lukasiewicz, bivalência e verofuncionalidade (Slides apresentados no seminário CLE-UNICAMP 29/08/2006)


GORSKY, Samir. Lukasiewicz, bivalência e verofuncionalidade (Texto apresentado em seminário no CLE-UNICAMP 29/08/2006)


GORSKY, Samir. Completude e Incompletude dos Sistemas Modais Normais (Texto apresentado em seminário no CLE-UNICAMP 24/05/2006)


GORSKY, Samir. Sistemas Aristotélicos e Diodoréios (Artigo Aceito para o XIV encontro Nacional de Lógica(XIV EBL))


GORSKY, Samir. O Teorema De Lindström (Texto que eu apresentei em seminário na UNICAMP)


GORSKY, Samir. Alguns sistemas modais fracos. Monografia. Unb 2003.


GORSKY, Samir. Escritos Filosóficos (Coletânea de trabalhos acadêmicos 1999-2006)


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Teoria da surpresa

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Por Samir Gorsky


O conceito de surpresa é central sobre o processo sensitivo, de adaptação, de aprendizagem, de atenção e de tomada de decisão. Não há ainda acordo sobre métodos para se quantificar a surpresa. Pesquisas concentram-se principalmente na observação sobre o comportamento de determinados neurônios em sistemas complexos. Há todavia uma interessante definição Bayesiana de surpresa formulada por Pierre Baldi da Universidade da Califórnia e que necessita, para ser consistente, de um mínimo de hipósteses axiomáticas. A surpresa Bayesiana quantifica como dados afetam observadores naturais ou artificiais através da mensuração da diferença entre as crenças anteriores e as posteriores dos observadores. Através desta estrutura pesquisadores da área fizeram testes para saber se seres humanos orientam suas atenções, enquanto assistem tv, para objetos que são capazes de causar surpresa.

Referências

Formal Bayesian Theory of Surprise Home Page

A Computational Theory of Surprise

A bayesian approach to the philosophy of inference


Thomas Hobbes e a teoria da gargalhada

CLUES, CUES AND COMPLEXITY: UNPACKING THE CONCEPT OF ORGANIZATIONAL SURPRISE


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Thaumas - Referências

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Por Samir Gorsky

Thaumas é a divindade relacionada ao sentimento de admiração. Uma das principais referências que temos é a de Platão que, no Teeteto, afirma ser adequada a genealogia que relaciona a filosofia a Thaumas.

O presente texto tem por objetivo listar as referências gregas à Thaumas.

Thaumas, Antos: Teogonia de Hesíodo 235, 265, 780 e Platão, Teeteto 155d.

Thaumatzo, pode ser traduzido como admiração. Em francês são usados “s’étonner”, “voir avec étonnement”, “admiration”, “admirer”, “vénérer”, “honorer”.

Encontrado em:

Homére. Poète épique, vers 850 av. J. C. [Ed. De La Roche, 1867-76; A. Nuck, 1874-77; Christ, 1884; Ameis-Hentze, 1877-88, ET Cauer, 1886-87; P. Mazon, V. Bérard, C. Budé]. Ilíada 24, 394.

Hérodote, d’helicarnasse historien, 5ª s. av. J. C. : fragments [Ed. Müller. Frag. Hist. Gr., 1839-57]. 1,68.

Em plutarco temos a seguinte passagem, que traduzido do grego para o francês fica assim "ne s'étonner de rien" significando em português "não surpreende em nada" (Cf. PLUTARQUE, de Chéronée, Philosophe et biographe, de 46 apr. J. C. à 126 env. [éd. Vies Parallèles, Im Bekker, 1855-57; Flacerière, C. Budé Morales de Fr. Lübner, 1846-55, Didot] Morales, 44b.)

Em Isocrates, Archid há uma passagem que trata de admiração sobre um gênero de pessoas "admirer ceux qui veulent". Em Tucidites sobre um gênero de fatos, Historiador ateniense, em seu livro sobre a guerra do Peloponeso 4, 85 e 7, 63.

La taumaturgia (parola formata a partire dal greco θαῦμα thaûma, tema thaumat-, "miracolo" e ἔργον érgon "lavoro") è un ramo della religione che si occupa dei prodigi e dei miracoli. (ver Platão, Leis 675a)

Alcuni preferiscono distinguere la taumaturgia dalla teurgia che si occupa dei miracoli in senso stretto, cioè prodigi a carattere religioso e non magico.

Questa differenza rimane molto sottile, se non fine a se stessa: infatti non si può dimenticare l'importanza che ha, per la religiosità popolare come per la Chiesa cristiana, la facoltà del santo di essere anche taumaturgo.[1]

Inoltre rispondono a questo appellativo i re detti "taumaturghi", cioè capaci di fare miracoli, i re francesi (dai merovingi alla rivoluzione) e i re inglesi (dai normanni alla guerra delle due rose).


Bibliografia

BAILLY, A. Dictionnaire grec-français - Rédigé avec le concurs de E. Egger.. Librairie Hachette, Paris 1950.

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Chemists craft molecular keypad lock

By Darren Murph

While the folks behind the AACS could probably use a few pointers about constructing a sufficient lock of their own, a group of scientists at the Weizmann Institute of Science in Rehovat, Israel have crafted a molecule-sized "keypad lock" that "only activates when exposed to the correct password, a sequence of chemicals and light." Organic chemist Abraham Shanzer and his colleagues suggest that their invention could "lead to a new level of safeguards for secret information," but we tend think the infamous hackers of the world would inevitably crack the code. Nevertheless, the molecule -- dubbed FLIP -- houses a core linker that mimics a bacterial compound that binds to iron, and attached to it are two molecules that respectively can glow either blue or green. Using three "buttons," which just so happen to be an acidic molecule, an alkaline compound, and ultraviolet light, the lock can be "opened" if given the right sequence of chemicals and light, and there's a grand total of two noticeable results possible. Interestingly, the researchers have insinuated that their creation could be used to recognize "when certain sequences of chemicals (like harmful toxins) are released in the body," but we haven't heard a 10-4 from the US Army just yet.

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Enzyme computers could live inside us, dispense drugs

By Evan Blass

Israeli researchers have just announced the successful completion of a molecular computer, which uses enzymatic chemical reactions to perform the necessary logic computations. Itamar Willner and his team at the Hebrew University of Jerusalem built the computer using glucose dehydrogenase (GDH) and horseradish peroxidase (HRP) enzymes, with hydrogen peroxide and glucose molecules representing input values. The presence or absence of these two chemicals correspond to binary 1s and 0s, allowing the computer to perform AND and XOR operations which are determined optically by a camera. Although enzyme computers will always be inherently slower than parallel processing DNA computers, Willner envisions his invention being used one day to precisely calculate and distribute doses of medicine from inside a patient's body.

Bacteria computer is good at math, even those pesky story problems

By Paul Miller

Scientists have successfully developed a computer out of E. coli bacteria (again), which has managed to solve the Burnt Pancake Problem -- at least in a limited form. The problem involves creating a golden-side-up stack of pancakes out of all different size pancakes, each of which is burned one side, with the largest pancake on the bottom tapering up to the smallest on top. You can only use a spatula to flip a top section of pancakes, and the math problem is to sort the stack in as few flips as possible. In addition to making regular human mathematicians very hungry, the problem exponentially spirals out of control -- for six pancakes there are 46,080 permutations, for 12 pancakes there are 1.9 trillion. The E. coli computer differs from a regular computer in that it turn each piece of DNA into a simulated pancake, with sections of DNA being flipped to hide from a killer antibiotic if they get the answer right, and killed if they get the answer wrong. With millions of "computers" able to fit in a drop of water, scaling won't be an issue once they figure things out, but for now E. coli can only figure out how to sort two pancakes.

Meet MAYA-II, the new DNA computer that can play Tic-Tac-Toe

By Cyrus Farivar

While strands of DNA may be able to pick fights with other strands, one thing that they can't do yet is play computer games -- that is, until now. In what appears to be an early proof-of-concept for DNA computing, scientists at Columbia University and the University of New Mexico have created a basic computer, called the MAYA-II, which has a molecular array of YES and AND logic gates made up of 100 DNA circuits. This allows the MAYA-II to play a complete game of Tic-Tac-Toe against a human opponent, and apparently nearly always win. However, this isn't exactly a fair test, given that the MAYA-II always goes first, and always opens with the center square. Still, even though each move takes 30 minutes to complete, the lead researcher on the project, Dr. Joanna Macdonald of Columbia, says that a DNA computer would be perfect for injection into human subjects to combat disease, because in theory, it would be able to "diagnose and kill cancerous cells or monitor and treat diabetes by dispensing insulin when needed." Useful applications aside, we're ready to take on the MAYA-II in Connect Four whenever Dr. Macdonald thinks it's ready.

DNA computer 'answers questions'

By Jason Palmer
Science and technology reporter, BBC News

The robotic "compiler" automatically sets up the computation
A computer with DNA as its information carrier can solve classic logic conundrums, researchers say.

DNA has been used to do simple number crunching before, but a system developed by Israeli scientists can effectively answer yes or no questions.

Strands of DNA are designed to give off a green light corresponding to "yes".

In Nature Nanotechnology, the team also describes a program which bridges the gap between a computer programming language and DNA computing code.

The team, led by Tom Ran and Ehud Shapiro of the Weizmann Institute in Israel, has been developing DNA-based computation systems for a number of years, including "computers" that can diagnose and treat cancers autonomously.

But the current approach is fundamentally different, Professor Shapiro told BBC News.

"Using more sophisticated biochemistry, we were able to implement simple logic programs, which are more akin to the way people program electronic computers," he said.

Sticky proposition

The system devised by the researchers uses molecules to represent facts and rules. In this way, the team was able to use it to answer simple molecular "questions".

First, they tried the system with simple "if… then…" propositions. One of these went as follows: "All men are mortal. Socrates is a man. Therefore, Socrates is mortal."

Without computer robotic support to this process, we would not have finished this in our lifetime

Professor Ehud Shapiro
Weizmann Institute of Science
When fed a molecular rule (all men are mortal) and a molecular fact (Socrates is a man), the DNA computing system was able to answer the question "Is Socrates mortal?" correctly.

The team went on to set up more complicated queries involving multiple rules and facts. The DNA devices were able to deduce the correct answers every time.

The answer was encoded in a flash of green light. Some of the DNA strands were equipped with a naturally glowing fluorescent molecule bound to a second molecule which keeps the light covered.

A specialised enzyme, attracted to the part of the molecule representing the correct answer, would then remove this cover to let the light shine.

Life's work

Professor Shapiro said the fact this system was based on clever biochemistry meant it was no less a computer than the conventional kind.

"Of course when the examples are simple, as in today's logic program, one can pre-compute the answer with pencil and paper. But in principle there is no difference between simple and complex computer programs; they can compute only what they programmed to compute.


The results appear similar to more established DNA tests
"It is important to note that, while bio-molecular computing trails behind electronic computing - in terms of actual computing power, maturity of the technology, and sheer historical progression - at the conceptual level they stand side-by-side, without one being a more 'preferred' embodiment of the ideas of computation," he said.

To save time and effort, the researchers developed a robotic system to set up the DNA-based propositions and queries.

The system can take in facts and rules as a computer file of simple text. The robotic "compiler" can then turn those facts and rules into the DNA starting products of a logical query.

"We had to do many, many experiments to develop, debug, and calibrate the molecular computing system, and without computer robotic support to this process, we would not have finished this in our lifetime," Professor Shapiro said.

While the current work may raise the bar for programmable, molecular computing, Professor Shapiro said: "the ultimate applications are in programmable autonomous computing devices that can operate in a biological environment."

In other words, computers that go to work inside a cell.
 
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